ACTUALITÉS

Deux professeurs de Mathématiques de l’Ecole professorale de Paris viennent de publier en ouvrages les cours qu’ils ont donné à l’École en 2016-2017 :

• Laurent LAFFORGUE, Géométrie plane et algèbre, Hermann, mars 2018.

• Benoît RITTAUD, Newton implique Kepler. Méthodes géométriques élémentaires pour l’enseignement supérieur en mathématiques, Ellipses, décembre 2017.

MATHÉMATIQUES

Programme 2019-2020

Programme de Mathématiques de l’année 2019-2020

MODULE N°1 (15 heures)

Introduction à la logique

par Laurent LAFFORGUE, Ancien élève de l’ENS Ulm, agrégé de mathématiques, Professeur à l’IHÉS, Médaille Fields.

Le but du cours est de préciser ce que l’on entend en mathématiques
par le mot « théorie » et de proposer une analyse générale de cette
notion. Cette analyse conduit à la distinction fondamentale entre la
syntaxe et la sémantique d’une théorie, c’est-à-dire entre sa
formulation logique et son contenu expressif. La première consiste en la
donnée d’un langage et d’une famille d’axiomes, tandis que la seconde
consiste en la collection de ses « modèles », c’est-à-dire de tous les
objets mathématiques auxquels elle s’applique. Cette analyse conduit
aussi à reconnaître ce que toutes les théories mathématiques ont en
commun : d’une part les « règles d’inférence » par l’usage desquelles tous
les résultats de n’importe quelle théorie se déduisent de ses axiomes,
d’autre part, la très riche structure de catégorie dont sont
naturellement munies les collections de modèles de toutes les théories.
En conclusion, on verra dans quelle mesure le parcours d’analyse logique
des mathématiques suivi dans le cours a fait avancer ou a déplacé la
question de leurs fondements.

Plan de cours détaillé ICI

Six vendredis 17h-19h30, dates précisées ultérieurement.

MODULE N°2 (15 heures)

Équations polynomiales de degré deux et trois : une brève histoire de l’algèbre

par Mohamed HOUKARI, ancien élève de l’École polytechnique, agrégé de mathématiques, professeur de classes préparatoires.

Les équations polynomiales occupent une place importante dans l’histoire des mathématiques, et, dans ce cours, nous proposons, à travers les équations de degré deux et trois, de revenir sur certaines des avancées que leur étude a permises. Outre leur résolution exacte (méthodes de Cardano-Tartaglia pour les équations de degré trois) dans le cas d’équations à coefficients réels ou complexes, nous étudierons plusieurs méthodes de résolution approchée, graphiques et algorithmiques, montrant notamment l’apport des suites récurrentes dans ce domaine. Dans un second temps, nous examinerons ce qui se produit lorsqu’on raisonne sur des équations à coefficients entiers ou rationnels, abordant par là quelques éléments de théorie des corps. Nous verrons que le procédé de construction des nombres à la règle et au compas (théorème de Wantzel) est particulièrement adapté pour illustrer la situation en degré deux, mais qu’il montre ses limites pour les équations du troisième degré (les problèmes de la trissection de l’angle et de la duplication du cube le montrent), sauf à y ajouter la possibilité de s’appuyer sur d’autres types de courbes ou d’outils géométriques.

Si le temps le permet, une petite partie du cours sera aussi consacrée à l’étude de ces équations dans les corps finis.

Cinq vendredis 9h30-12h30, dates précisées ultérieurement.

MODULE N°3 (15 heures)

Les étapes du calcul des probabilités

par Christian HESS, agrégé de mathématiques, professeur émérite à l’université Paris-Dauphine

En suivant l’historique du calcul des probabilités à partir du 17ème siècle, on abordera quelques thèmes saillants illustrés par des exemples, certains d’entre eux ayant été d’abord perçus comme paradoxaux ou contraires au sens commun, puis expliqués ensuite par une réflexion théorique plus précise. Parmi les thèmes abordés, citons les jeux de hasard, la loi des grands nombres qui permettra d’introduire la notion de convergence en probabilités pour une suite de variables aléatoires, la genèse de la loi normale (alias loi de Gauss ou de Laplace-Gauss), les résultats de convergence d’autres lois vers la loi normale d’où émerge la notion de convergence en loi. D’autres résultats plus récents et plus fins sur le comportement asymptotique des suites de variables aléatoires seront brièvement présentés, tels que l’inégalité de Berry-Essen, la loi du logarithme itéré et celle de l’arc sinus. Si le temps le permet, on évoquera les premiers principes de la théorie de la mesure, théorie qui a permis d’aboutir à une forme générale du modèle probabiliste.

Six mercredis 17h-19h30, dates précisées ultérieurement.

MODULE N°4 (15 heures)

Enseigner la théorie des graphes

par Benoît RITTAUD, ancien élève de l’ENS Lyon, agrégé de mathématiques, Maître de Conférences à l’université Paris XIII

Le cours traitera de divers développements de la théorie des graphes qui prolongent les programmes d’enseignement de spécialité du lycée. Il s’attachera plus spécialement à montrer comment ces objets sont liés à diverses branches des mathématiques, théoriques comme appliquées : algorithmique, algèbre linéaire, théorie des langages, théorie des jeux.

Six jeudis 17h-19h30, dates précisées ultérieurement.

MODULE N°5 (15 heures)

INTRODUCTION À LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE POUR LES MATHÉMATICIENS

par Cédric DEFFAYET, ancien élève de l’ENS Ulm, agrégé de physique, directeur de Recherche au CNRS, chercheur à l’Institut d’Astrophysique de Paris (IAP) et à l’Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS), chargé de cours à l’École Polytechnique.`

La théorie de la relativité générale, formulée par Einstein il y a plus de 100 ans, reste aujourd’hui la meilleure description disponible de la « force » de gravitation. Elle a reçu récemment une confirmation éclatante avec la détection directe des ondes gravitationnelles. Cette théorie a aussi des ramifications importantes en mathématiques, d’une part parce qu’elle utilise de nombreuses notions de géométrie différentielle, d’autre part parce qu’elle est le sujet de beaucoup de travaux visant en particulier à mieux comprendre les solutions des équations d’Einstein. L’objet de ce cours est de proposer une introduction à la relativité générale en insistant en particulier sur les méthodes et résultats mathématiques qui lui sont reliés (mais qui concernent aussi quelques résultats physique d’importance) : la structure des équations d’Einstein, leurs solutions simples et leurs géométries (métriques cosmologiques, solutions de trous noirs, ondes gravitationnelles, singularités). Aucun prérequis n’est nécessaire, si ce n’est des notions très élémentaires de mécanique du point.

Horaires et dates précisés ultérieurement.